Ученые МИФИ нашли новый метод решения нелинейных алгебраических уравнений, превосходящий существующие аналоги

На кафедре № 26 "Электронные измерительные системы" под руководством д.т.н. Масленникова Валерия Викторовича реализован новый численный метод решения нелинейных алгебраических уравнений, превосходящий существующие аналоги по своим ключевым характеристикам: скорости, точности, сходимости.

Первоначально задача возникла при создании современных прецизионных измерительных приборов из необходимости анализа поведения активных фильтров, разработки перспективной и выбора существующей элементной базы. Она была сформулирована следующим образом: необходимо выработать новый подход к решению нелинейных алгебраических уравнений, удобный для прямых аналитических расчетов и оценки параметров схем при многопараметрическом переборе. Учитывая общепринятые математические модели систем в физике и технике, выраженных интегро-дифференциальными уравнениями и преобразованием Лапласа сводящихся к алгебраическим, было решено положить успешно полученные результаты решения первоначальной задачи в основу нового численного метода.

Основу предлагаемого подхода составляет отказ от традиционного для большинства численных методов искусственного задания начальных значений. Вместо этого на основе коэффициентов уравнения вычисляется первое начальное приближение, уточняемое впоследствии итерационным образом путем введения поправок в определенные коэффициенты. Для кубических уравнений такой коэффициент всего один. Полученный метод предполагает безусловную сходимость к точному решению, что исключает необходимость проверки корректности выдаваемого результата. Это позволит сократить затраты временных, машинных и человеческих ресурсов.

На фото: разработчики проекта – Масленников Валерий Викторович и Довгополая Елена Алексеевна

(кафедра № 26 "Электронные измерительные системы")

Разрабатываемые в текущий момент программы смогут использоваться в любых системах для инженерно-математических расчетов, включая системы сквозного проектирования. Планируется применение полученных результатов для решения гладких нелинейных задач, интегро-дифференциальных уравнений совместно с операторным методом преобразований Лапласа, проблемы собственных значений. Разработанные формулы, позволяющие получить первое приближение, найдут широкое применение для аппроксимации и интерполяции с последующим итерационным уточнением, а также для повышения качества графических интерфейсов при отрисовке элементов. Наращивание программного кода и создание удобного пользовательского интерфейса позволит развить разрабатываемую концепцию до полноценной системы моделирования и расчета.