Николай Кудряшов: «Солитон – это и волна, и частица»
05
августа
2024
В международном научном журнале «Chaos, Solitons and Fractals», втором по значимости журнале математической физики с квартилем Q1, вышла статья профессора НИЯУ МИФИ Николая Кудряшова «Солитоны иерархии комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза».
Профессор НИЯУ МИФИ, заведующий кафедрой прикладной математики Института ЛаПлаз Николай Кудряшов
Исследование солитонов (структурно устойчивых уединенных волн) – одна из сложнейших математических задач, имеющая большие перспективы. И интересную историю.
«В 1965 году американские математики Мартин Крускал и Норман Забуски провели вычислительный эксперимент по взаимодействию уединенных волн, которые назвали «солитонами», – рассказывает Николай Алексеевич Кудряшов. – И получили совершенно парадоксальный результат – действия солитонов очень похожи на поведение частиц или даже на действия людей: двигающаяся с большей скоростью большая уединенная волна догоняет меньшую уединенную волну, двигающуюся с меньшей скоростью, они взаимодействуют, потом разбегаются, не меняя формы и скорости. Единственно что – они на какой-то момент задерживаются, как бы «поговорили друг с другом» и разбежались. Оказалось, что это явление встречается во многих областях физики, где пытаются учесть нелинейность и дисперсию (разбегание волн) – в физике плазмы, физике твердого тела, оптике, сверхпроводимости. Самый простой пример – с его помощью можно описать даже некоторые волны на воде, например, цунами».
Но в истории с открытием солитонов есть не только математика, но и география, и поэзия.
Джон Скотт Рассел изучал волны с целью улучшения форм кораблей, и в середине XIX века построил по волнообразной системе формы пароход «Great Eastern», ставший триумфом технического мастерства того времени
В 1895 году голландский математик, механик и астроном Дидерик Кортевег и его аспирант Густав де Фриз впервые математически объяснили явление, отмеченное в 1844 году в статье британского ученого и кораблестроителя Джона Скотта Рассела. Экспериментальное открытие Рассел сделал в 1834 году, и произошло это почти случайно, когда он проводил испытания баржи на канале Форс-энд-Клайд, который разрезает Шотландию на две части. А именно – две лошади тянули баржу по каналу, а Рассел, сидя на третьей, следовал за ними по берегу. Вдруг пару лошадей что-то напугало, они понесли, веревка порвалась, судно остановилось и перед ним пошла вперед небольшая волна от носовой части. Рассел, обладавший необыкновенной наблюдательностью, заинтересовался этим явлением, и поехал по берегу за волной, чтобы проследить за ее изменениями. В течение десяти лет он много раз повторял этот эксперимент уже намеренно, то есть наблюдал и исследовал движение уединённой волны на поверхности воды. Свои выводы он опубликовал в 1844 году в «Докладе о волнах», но его раскритиковали и долгое время эта работа не вызывала интереса. Особенно «постарался» родоначальник современной гидродинамики Джордж Габриель Стокс, обозвав научные изыскания Рассела «чепухой».
И только через 50 лет на доклад Рассела обратил внимание Кортевег и вместе с де Фризом вывел уравнение, описывающее распространение в нелинейной среде структурно устойчивой уединенной волны, то есть солитона.
А теперь – о поэзии. В 1841 году, то есть примерно тогда же, когда Рассел проводил свои наблюдения в Шотландии, в России об этом написал… Михаил Лермонтов! Вот стихотворение, которое он оставил в альбоме графини Ростопчиной:
Портрет графини Евдокии Ростопчиной, чей образ вдохновил Лермонтова на поэтическое «открытие» солитона
Я верю: под одной звездою
Мы с вами были рождены;
Мы шли дорогою одною,
Нас обманули те же сны.
Но что ж! – от цели благородной
Оторван бурею страстей,
Я позабыл в борьбе бесплодной
Преданья юности моей.
Предвидя вечную разлуку,
Боюсь я сердцу волю дать;
Боюсь предательскому звуку
Мечту напрасную вверять...
Так две волны несутся дружно
Случайной, вольною четой
В пустыне моря голубой:
Их гонит вместе ветер южный;
Но их разрознит где-нибудь
Утеса каменная грудь...
И, полны холодом привычным,
Они несут брегам различным,
Без сожаленья и любви,
Свой ропот сладостный и томный,
Свой бурный шум, свой блеск заемный
И ласки вечные свои.
«Для чего я не родился этой синею волной?» Акварельный рисунок М.Ю. Лермонтова
Это не что иное, как поэтическое описание вложенного солитона, обладающего такими же свойствами, как и солитон Кортевега–де Фриза. Придумал поэт это или заметил на море, мы не знаем. Кстати, род Лермонтовых происходит от шотландского барда ХIII века Томаса Лермонта – «вот так начнешь изучать фамильные портреты и, пожалуй, уверуешь в переселение душ», как говорил Шерлок Холмс. Прототип которого, хирург и профессор Эдинбургского университета Джозеф Белл, тоже был шотландцем. Видимо, в существовании самой Шотландии есть какая-то математическая загадка...
Но вернемся к ученому сословию. В 1945 году научная общественность Европы отмечала 100-летний юбилей со дня рождения Кортевега. Интересно, что уравнение Кортевега–де Фриза тогда даже не включили в список выдающихся работ ученого.
Теперь перенесемся в США, в Лос-Аламосскую лабораторию, где в сороковые годы шла интенсивная работа над созданием атомного оружия и… вычислительных машин, первая из которых появилась в начале 1950-х гг. Одним из активных участников создания атомного оружия в США был выдающийся итальянский физик, лауреат Нобелевской премии Энрико Ферми. Он предложил решать на первой вычислительной машине не только «взрывные задачи», но и сугубо научные. В то время Ферми пытался разобраться с математической моделью бесконечной скорости распространения тепла, что следует из уравнения теплопроводности, но противоречит теории относительности Эйнштейна.
Фото Энрико Ферми на пропуске в Лабораторию в Лос-Аламосе
Ферми предположил, что если при передаче возмущения в дискретной цепочке атомов учесть нелинейность, то это исправит математическую модель и приведет к конечности скорости распространения тепла в твердом теле. Эту задачу он поручил решить двум своим коллегам – инженеру Джону Пасте и математику Стиву Уламу – именно на вычислительной машине, поскольку иных путей осуществить это не было.
Однако, выполнив вычислительный эксперимент, исследователи не получили ожидаемого результата. Скорее наоборот, они получили то, что не смогли объяснить: при расчете возмущения в цепочке атомов при периодических граничных условиях происходит возвращение начального состояния. Это было неожиданно и непонятно, и в истории науки осталось как парадокс Ферми–Паста–Улама.
Разрешить этот парадокс посчастливилось Мартину Крускалу и Норману Забуски в 1965 году. Крускал перешел от дискретной цепочки атомов к непрерывной математической модели, предположив, что количество атомов в цепочке стремится к бесконечности, и устремив расстояние между ними к нулю. Фактически он пришел к струне, с учетом в ней нелинейного взаимодействия при распространении возмущений. И тут случилось неожиданное: он получил уравнение Кортевега–де Фриза. Вначале он думал, что получил новое уравнение, но, посоветовавшись с одним из профессоров на кафедре гидродинамики Принстонского университета, он узнал, что полученное им уравнение уже известно с 1895 года для описания волн на воде. Так произошло возвращение уравнения Кортевега–де Фриза в научный оборот, оно, наконец, пригодилось и открыло целый «букет» новых направлений – в физике, гидродинамике, кораблестроении, океанологии и т.д.
Портрет Дидерика Кортевега (1848 – 1941). Он учился на инженера в Делфтской политехнической школе, но бросил ее, так как любовь к математике победила – он стал школьным учителем математики. Впоследствии – профессор математики, механики и астрономии Амстердамского университета.
«Математическая модель для описания солитонов по-настоящему взволновала научное сообщество в конце 60-е годов ХХ века, для ее решения уравнение Кортевега–де Фриза удалось записать в виде линейных уравнений, что привело к новому методу решения задач Коши для нелинейных уравнений в частных производных, – продолжает Кудряшов. – Это было замечательное открытие, после которого возникла «солитонная лихорадка», стали искать и другие уравнения, имеющие солитоны. И действительно, оказалось, что солитоны встречаются в разных моделях – есть групповые солитоны, топологические, магнитозвуковые, гравитационные и другие».
Явления, которые описываются этими уравнениями, можно прогнозировать, но решать такие задачи – очень сложно. В первой половине 1970-х гг. японский математик Рёго Хирота придумал изящный метод, позволяющий находить солитонные решения – теперь он так и называется «прямой метод Хироты». Он применялся для уравнений второго, третьего и четвертого порядков. Н.А. Кудряшов применил метод Хироты для уравнений более высоких порядков – пятого, седьмого и т.д. В частности для комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза.
«Насколько мне известно, этим в мире еще не занимались. Но всё оказалось не так просто. Первая трудность заключалась в том, чтобы придумать, как записать уравнение высокого порядка через оператор Хироты, а вторая – как расщепить одно уравнение на систему (то есть получить из одного уравнения – два), чтобы можно было воспользоваться идеями Хироты. Работа шла довольно трудно, вычисления были сложными и громоздкими, но в результате удалось найти двухсолитонные решения уравнений пятого и седьмого порядков для иерархии комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза», – заключает ученый.
В работе Н.А. Кудряшова найдены одно- и двухсолитонные решения уравнений пятого и седьмого порядков и высказана гипотеза о виде многосолитонного решения для остальных членов иерархии – девятого, одиннадцатого и других порядков. Рассмотренные уравнения могут быть полезны при разработке математических моделей для передачи данных на большие расстояния без помех, в том числе, в нелинейной оптике – для описания импульсов в оптических средах.
Поздравляем Николая Алексеевича и желаем дальнейших успехов!
Материал подготовила Ксения Ерохина
822
