Связав уравнения типа Льенара с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, ученые-математики из МИФИ намерены построить их общие аналитические решения

Уравнения типа Льенара и их обобщения являются важным, с практической точки зрения, классом нелинейных дифференциальных уравнений. Данные уравнения возникают в теории нелинейных колебаний, теории динамических систем, задачах нелинейной механики, задачах теории упругости, задачах механики жидкости и газа, задачах описания динамики биологических систем и в ряде других приложений. В частности, к уравнениям типа Льенара относятся уравнения Рэлея, использующиеся для описания динамики сферического пузырька газа в жидкости, осциллятор Ван-дер-Поля, осциллятор Мэтьюса-Лакшманана, осциллятор Дуфинга-Ван дер Поля и ряд других уравнений нелинейной механики. Кроме того, уравнения типа Льенара и их обобщения возникают как инвариантные редукции ряда практических важных нелинейных уравнений в частных производных, таких как уравнение Камасса-Хольма, уравнение Фишера, класс уравнений K(m,n). Разработка методов построения аналитических решений уравнений типа Льенара и их обобщений представляет практический и теоретический интерес.

В рамках гранта Президента РФ по государственной поддержке молодых российских ученых – кандидатов наук на кафедре прикладной математики НИЯУ МИФИ в научной группе профессора Н.А. Кудряшова выполняется проект «Нелокальные преобразования для построения явных аналитических решений нелинейных уравнений типа Льенара и их обобщений» под руководством доцента Д.И. Синельщикова.

Несмотря на большую практическую значимость, класс уравнений Льенара до сих пор остается недостаточно изученным с точки зрения возможности построения явных аналитических решений. Кроме того, важной проблемой является выявление семейств уравнений типа Льенара, для которых общие аналитические решения могут быть получены в явном виде. Большинство существующих до настоящего времени исследований основаны на изучении связи уравнений типа Льенара с линейными дифференциальными уравнениями. Однако данный подход существенно сужает семейства уравнений, для которых возможно построение решений. Поэтому представляет интерес исследовать связь уравнений типа Льенара и их обобщений с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями (например, уравнениями для эллиптических функций). Исследование данной связи позволяет расширить классы уравнений типа Льенара, для которых возможно построение общих аналитических решений. Кроме того, это позволит предложить новые критерии интегрируемости для уравнений типа Льенара и их обобщений.

Таким образом, целью проекта является установление связи между уравнениями типа Льенара и интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, а также построение как точечных, так и нелокальных преобразований, дающих данную связь, построение общих аналитических решений уравнений типа Льенара, выявление новых классов интегрируемых уравнений типа Льенара.